2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-数列解答题a.docVIP

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

03数列与数学归纳法

三、解答题

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）已知函数的图象经过点和，记

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的最小值；

（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.

解：（1）由题意得，解得，

（2）由（1）得，①

②①-②得

.，

设，则由

得随的增大而减小时，

又恒成立，

（3）由题意得恒成立

记，则

是随的增大而增大

的最小值为，，即.

2、(江苏省启东中学高三综合测试二)

(1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，－0.5）对称；

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;

解：(1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，

关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)

∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函数ｙ＝f（ｘ）的图象关于点（0.5，－0.5）对称.

(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1

则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3

下面用数学归纳法证明

当n=1时，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立

当n=2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立

令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2

则ｎ＝ｋ＋1时，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2

右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1

∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5

当ｋ≥2，ｋ∈N时，上式恒为正值

则左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以对任何自然数n，总有3ｎ＞ｎ2成立，即对任何自然数n，总有bｎ＞ｎ2成立

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an－3n(n∈N+)

(1)若数列{an+c}成等比数列，求常数c的值；

(2)求数列{an}的公式an；

(3)数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由。

解：（1）an=3?2n－3（2）数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项

答案：

4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a1=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

解：（Ⅰ）∵(x≥4)，

∴(x≥0)，

∴，

即（N*）．

∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即

（N*）．

b1=1，当n≥2时，，

∴

因而，N*．

，

∴

令①

则②

①-②，得

∴．又．

∴．

5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设数列的前项和为，且，其中；

（１）证明：数列是等比数列。

（２）设数列的公比，数列满足，（

求数列的通项公式；

（３）记，记，求数列的前项和为；

解：（1）由，

相减得：，∴，∴数列是等比数列

（2），∴，

∴是首项为，公差为1的等差数列；∴

∴

（3）时，，∴，

∴，①

②

②-①得：，

∴，

所以：

6、(江西省五校2008届高三开学联考)设数列

（I）求数列{bn}的通项公式；

（II）若存在实数t，使得数列成等差数列，记数列的前n项和为Tn.证明：

解：（I）由已知得，………………2分

，

，

上述两式错位相减得：，………5分

……………………6分

（II），

∴当且仅当t=0时，数列成等差数列，此时…………9分

错位相减得：……………………10分

，

7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)是否存在常数a,b,c，使等式对一切正整数都成立？证明你的结论。

解：,，

证明：略

8、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设正数数列的前n次之和为满足=

①求，

②猜测数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明

③设，数列的前n项和为,求的值。

解：①

②猜测证明略

③EQ\f(1,2)

9、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)已知二次函数的图象过点且

（1）求的解析式；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）对于（2）中的数