高考数学复习讲义：第5讲　导数与不等式的证明.pdfVIP

第5讲导数与不等式的证明

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2

母题(2023·鞍山模拟)若f(x)＝(x－2)＋2alnx有两个极值点x，x，证明：f(x)＋f(x)1.

21212

思路分析

❶fx有两个极值点x，x

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❷x，x是方程f′x＝0的两根

12

❸根与系数的关系

❹fx＋fx

12

❺构造关于a的函数求最值

2

2ax－2x＋2a

证明f′(x)＝x－2＋＝(x0)，

xx

2

由函数有两个极值点，得x－2x＋2a＝0有两个不相等的正实数根x，x，

12

x＋x＝2，

12

则且Δ＝4－8a0，解得02a1，



xx＝2a0，

12

11

22

由题意得，f(x)＋f(x)＝(x－2)＋2alnx＋(x－2)＋2alnx

12211222

1

22

＝(x＋x)－2(x＋x)＋2alnxx＋4

2121212

1

2

＝(x＋x)－xx－2(x＋x)＋2alnxx＋4

212121212

＝2aln2a－2a＋2，

令t＝2a，h(t)＝tlnt－t＋2(0t1)，

则h′(t)＝lnt0，即h(t)在(0,1)上单调递减，

所以h(t)h(1)＝1，即f(x)＋f(x)1.

12

1

x2

[子题1](2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝e－x－x.证明：∀x∈[0，＋∞)，f(x)sinx.

2

1

x2

证明f(x)＝e－x－x，

2

x

可得f(0)＝1，f′(x)＝e－x－1.

x

当x