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第12讲空间几何体

[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、

填空题的形式考查，难度中等或偏上．

考点一空间几何体的折展问题

核心提炼

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形．

(2)圆锥的侧面展开图是扇形．

(3)圆台的侧面展开图是扇环．

例1(1)(2023·南宁模拟)如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA＝3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一

圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为()

A．23B．33

C．6D．2π

答案B

解析已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最

短距离为AA′，

设∠ASA′＝α，

圆锥底面周长为2π，所以AA＝α×3＝2π，

2π

所以α＝，

3

在△SAA′中，由SA＝SA′＝3和余弦定理，得

22

AA′＝SA＋SA′－2SA·SA′·cosα

1

22－

＝3＋3－2×3×3×＝33.

2

(2)(2023·深圳模拟)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝3，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE

＝30°，则cos∠FCB等于()

1133

A.B.C.D.

2354

答案D

解析由题意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，

在△ACE中，由余弦定理得

222

CE＝AE＋AC－2AE·AC·cos∠CAE

3

＝1＋3－2×1×3×＝1，

2

∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝2，BC＝2，

∴在△BCF中，由余弦定理的推论得，

222

BC＋CF－BF4＋1－23

cos∠FCB＝＝＝.

2BC·CF2×2×14

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，

注意展开后对应的顶点和边．

跟踪演练1(1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()

A．C∈GH

B．CD与EF是共面直线

C．AB∥EF

D．GH与EF是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直

线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误．

(2)(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，

则△AEF周长的最小值为()

A．62B．63C．82D．83

答案C

解析沿侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图所示，则AA′即为△AEF周长的最小值，又因为∠AVB

＝∠A′VC＝∠BVC＝30°，

2222

所以∠AVA′＝3×30°＝90°，在△VAA′中，VA＝VA′＝8，由勾股定理得AA′＝VA＋VA′＝8