计算机数学基础一二章PPT(4).pptVIP

变速直线运动中，速度函数v(t)是路程函数s＝f(t)对时间t的导数，即

而加速度a又是速度v对时间t的导数：

或

这种导数的导数或称为二阶导数，记做

或;一般地，函数y＝f(x)的导数仍然是x的函数，的导数称为函数y＝f(x)的二阶导数，记做或，即

或;相应地，函数y＝f(x)的导数称为函数y＝f(x)的一阶导数。类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，…，阶导数的导数称为n阶导数，分别记做

或

;二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。

例1-36求y＝4x3－3x2＋x－5的四阶导数。;补充例题;;1.6微分及其应用;此时也称是比低阶的无穷小.;一块正方形均质金属薄片因为受热膨胀，其边长由变到，如右图所示。现在求此薄片面积的增加量。

A＝x02

ΔA＝(x0＋Δx)2－x02

＝2x0Δx＋(Δx)2;ΔA由两局部构成，第一局部2x0Δx是Δx的线性函数，是右图中画斜线的两个小矩形面积之和。第二局部(Δx)2是右图中画交叉线的小正方形的面积。一般情况下，Δx很小，(Δx)2那么更小。当Δx→0时，(Δx)2是Δx的高阶无穷小。所以，当Δx很小时，2x0Δx是ΔA的很好的近似，即;定义1-18设函数y＝f(x)在某区间内有定义，x0及x0＋Δx在该区间内，如果函数的增量Δy可表示为

ΔA＝AΔx＋ο(Δx) 〔1-28〕

其中A是不依赖于Δx的常数，而ο(Δx)是Δx的高阶无穷小，那么称函数y＝f(x)在点x0是可微的，而AΔx称为函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作，即

dy＝AΔx 〔1-29〕; 当A≠0时，AΔx是Δy的主要局部〔Δx→0〕。由于AΔx是Δx的线性函数，因此，微分dy〔AΔx〕称为Δy的线性主部〔Δx→0〕；而且，当Δx很小时，有

〔1-30〕;定理1-9函数在点可微的充分必要条件是该函数在点可导。此时，即有

〔1-31〕

定理1-9说明：函数可微和可导是等价的。

例1-37求函数y＝x3在x＝1处，Δx＝0.1和Δx＝0.01时的增量和微分。;解由得。

〔1〕Δx＝0.1时，有

Δy＝(1＋0.1)3－13＝0.331

〔2〕Δx＝0.01时，有

Δy＝(1＋0.01)3－13＝0.030301;函数y＝f(x)在任意点x的微分称为函数的微分，记作dy或df(x)，即

显然，函数的微分与x和Δx的值有关。

通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx，即dx＝Δx。于是函数y＝f(x)的微分又可记作

〔1-32〕

从而有;此前，是作为导数的整体符号介绍的。有了微分的概念后，可以把它看成两个微分〔dy和dx〕的商。因此，导数又称为微商。;如右图所示，曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线PT的方程为

假设记Δx＝x－x0，那么上式变成;微分dy就是当在取得增量时曲线在点(x0,f(x0))处的切线PT的纵坐标的相应增量。

而Δy是同样条件下曲线y＝f(x)的纵坐标的相应增量。;根本初等函数的微分公式

(1)dc＝0 (2)dxμ＝μxμ-1dx

(3)dax＝axlnadx (4)dex＝exdx

(5) (6);(7)dsinx＝cosxdx (8)dcosx＝－sinxdx

(9)dtanx＝sec2xdx(10)dcotx＝－csc2xdx

(11) (12)

(13) (14);微分运算法那么

设函数u＝u(x)、v＝v(x)可微，那么

(1)d(u±v)＝du±dv

(2)d(uv)＝vdu＋udv

(3)d(cv)＝cdu

(4);复合函数的微分微分法那么

设y＝f(u)、u＝φ(x)，那么复合函数y＝f[φ(x)]的微分为

由于，所以，复合函数y＝f[φ(x)]的微分公式也可以写成

或;将此式与式〔1-32〕比照可知，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。

例1-38y＝x3－3x2