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目录01无穷级数的基本概念02无穷级数的性质03无穷级数的求和方法04无穷级数的收敛性判定05无穷级数习题解析

01无穷级数的基本概念

级数的定义数列与项的概念级数的通项公式收敛与发散部分和的累积级数是由数列的项按照一定顺序相加形成的序列，每一项都是数列中的一个元素。级数的每一项相加形成部分和，部分和序列的极限定义了级数的和。如果级数的部分和序列有极限，称该级数收敛；否则，级数发散。级数的每一项可以表示为数列的通项公式，通常用符号a_n表示第n项。

级数的分类正项级数、交错级数是根据级数项的正负符号进行的分类，影响级数的收敛性。按项的符号分类幂级数、三角级数等是根据级数项的函数形式进行的分类，各有其特定的收敛域。按项的函数性质分类绝对收敛级数和条件收敛级数是根据级数项绝对值的收敛性来区分的。按项的大小分类010203

级数的性质收敛性级数的收敛性是判断级数是否趋于一个确定值的重要性质，例如调和级数发散，而几何级数收敛。项的排列级数项的重新排列可能改变级数的和，例如交错级数的项重新排列后可能影响其收敛性。

级数的运算规则级数加法涉及对应项相加，如两个收敛级数相加仍收敛，其和为原级数和的和。级数的加法运算级数乘法较为复杂，通常通过柯西乘积公式来计算两个级数的乘积。级数的乘法运算级数除法不总是可行，但可以通过长除法或部分分式分解等方法尝试求解。级数的除法运算

级数的特殊类型交错级数是项的符号交替变化的级数，例如调和级数的交错形式，其收敛性分析较为复杂。交错级数01、绝对收敛级数是指其绝对值组成的级数收敛，而条件收敛级数则仅在原级数形式下收敛，例如交错调和级数。绝对收敛与条件收敛02、

02无穷级数的性质

收敛性与发散性收敛级数是指部分和序列有极限，例如调和级数的前n项和趋于无穷大，不收敛。收敛级数的定义01发散级数无法找到有限的极限，如p-级数当p≤1时发散。发散级数的判别02收敛级数的和不随项的顺序改变，例如交错级数的莱布尼茨判别法。收敛级数的性质03

项的重排性质对于绝对收敛的级数，其项可以任意重排而不改变和的值，如调和级数的重排。收敛级数的重排01条件收敛级数的项重排后，和可能会改变，例如交错调和级数的不同重排方式。条件收敛级数的重排02重排级数时必须满足一定的条件，如级数项的绝对值递减，以保证重排后级数的收敛性。级数重排的条件03不同的重排方式可能会影响级数求和的速度和结果，如黎曼级数定理所示。重排对级数求和的影响04

无穷级数的比较利用比较判别法，通过比较已知级数的收敛性来判断未知级数的收敛性。比较判别法0102比值判别法通过计算相邻项的比值极限来确定无穷级数的收敛性。比值判别法03根值判别法通过求项的n次方根的极限来判断无穷级数的收敛性。根值判别法

绝对收敛与条件收敛绝对收敛意味着级数的绝对值之和收敛，例如级数∑|an|收敛。绝对收敛的定义利用比较测试、比值测试和根值测试等方法可以判断级数是绝对收敛还是条件收敛。绝对收敛与条件收敛的判别方法条件收敛指的是级数本身收敛，但其绝对值之和发散，如交错级数∑(-1)^n/n。条件收敛的定义绝对收敛级数的和不受项的排列影响，而条件收敛级数的和可能因排列不同而改变。绝对收敛与条件收敛的比较

级数的乘积交错级数乘积的收敛性较为复杂，需要通过特定的判别法来确定，如莱布尼茨判别法。交错级数乘积的收敛性幂级数乘积涉及两个幂级数相乘，其结果仍然是幂级数，且收敛半径不小于原级数的最小半径。幂级数的乘积柯西乘积定理指出，两个绝对收敛级数的乘积级数也是绝对收敛的，并给出了和的表达式。柯西乘积定理

03无穷级数的求和方法

一般项求和技巧对于形如等比级数的无穷级数，通过错位相减消去大部分项，简化求和过程。错位相减法通过构造部分和序列，利用极限求和，如调和级数的部分和求解。部分和法

幂级数求和幂级数是形如∑a_n(x-c)^n的级数，其中系数a_n和中心c是常数，x是变量。01幂级数的定义和性质通过收敛半径的计算，可以确定幂级数在特定区间内的收敛性。02幂级数的收敛半径利用已知函数的幂级数展开，通过逐项求和或微分、积分等方法求解幂级数和。03幂级数求和的技巧

分式级数求和通过将复杂分式分解为简单分式之和，简化级数求和过程，如对数级数的求和。部分分式分解法利用泰勒级数将函数展开为无穷级数，求解特定函数的分式级数和，例如e^x的级数求和。泰勒级数展开法通过积分变换，将分式级数转化为可积函数，进而求得级数和，如拉普拉斯变换在级数求和中的应用。积分变换法建立分式级数的递推关系，利用已知级数和递推公式求解新的分式级数和，例如斐波那契数列的级数求和。递推关系法

交错级数求和交错级数是由正负项交替出现的无穷级数，例如调和级数的交错形式。交错级数的定义利用莱布尼茨