上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试题

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上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力

诊断测试数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知全集，，则_________

【答案】

【解析】由题全集，，所以.

故答案为：.

2.不等式的解集是____________．

【答案】

【解析】原不等式等价于且，解为，

故答案为

『点石成金』：分式不等式，，这里容易出错，要注意．

3.若，则___________.

【答案】

【解析】.

故答案为：.

4.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.

【答案】

【解析】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，

根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.

5.若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为______

【答案】

【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，

因为直线与直线平行，且经过圆的圆心，

所以，直线的方程为.

故答案为：.

6.某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数______

【答案】

【解析】由表格中的数据可知，，，

所以，样本中心点的坐标为，

将样本中心点坐标代入回归直线方程可得，解得.

故答案为：.

7.若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为______.（结果保留）

【答案】

【解析】不妨设，，，由余弦定理可得，

所以，角为锐角，故，

设的外接圆半径为，则，所以，，

因此，的外接圆的面积为.

故答案为：.

8.已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则______.

【答案】

【解析】设，因为在复平面上所对应的点在抛物线上，

所以，，因为，

故，即，

解得：或（舍去），故，，

当时，代入方程得，

，即，

故,

当时，代入方程得，

，即，

故,

综上可得，

故答案为：

9.某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为______

【答案】

【解析】根据可得，

即，又由对称性可知，

所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为；

因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为；

故答案为：

10.已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法.

【答案】

【解析】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种，

若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则，

则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定，

奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个，

若、同为奇数，则、的选择方法种数为种；

若、同为偶数，则、的选择方法种数为种.

当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种.

综上所述，不同的摸法种数为种.

故答案为：.

11.1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型______.（用含有、、的式子表示）

【答案】

【解析】根据假设，可得，

当时，，代入可得，解得，

由单位时间内的人口增长量与成正比，可得，

将，代入可得，

所以假设下建立的人口增长模型.

故答案：.

12.记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由于，

所以，被除余数为，

因此，集合中的元素只需满足能被整除即可，

设，从而可得,

即需取以为间隔的等间隔分布的实数，

不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值，

考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值，

设，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数的增区间为，减区间为，

所以，，

因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，

而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，

因此，只需，解得.

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.若是