上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试题

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上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．

1.若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为___________．

【答案】

【解析】扇形弧长.

故答案为：.

2.已知向量，设，向量，若，则___________．

【答案】1

【解析】由，且可得，

解得.

故答案：1.

3.若，则___________．

【答案】

【解析】，

则.

故答案为：.

4.在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________．

【答案】

【解析】，

则，

则.

故答案为：.

5.若，则___________．

【答案】

【解析】由，两边平方后得，

即，则.

故答案为：.

6.若向量，则___________．

【答案】

【解析】由可得，且；

所以，又，

可得.

故答案为：.

7.设，若函数的.定义域为，则的值为___________．

【答案】

【解析】由题意可知，，，

所以.

故答案为：.

8.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到）

【答案】14.6

【解析】由题意可得，，，，则，

在中，由正弦定理可得，

即，

所以.

故答案为：14.6.

9.若，则___________．

【答案】3

【解析】.

故答案为：3.

10.已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______

【答案】

【解析】设，则

，，

将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为，

则，

∴点的纵坐标为.

故答案为：.

11.i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为___________．

【答案】

【解析】设，则，整理为，

所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面，

，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图，

的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以.

故答案为：.

12.已知平面非零向量的模均为，若，则___________．

【答案】2

【解析】设，，，，

其中，

因为，则；因为，则，

则，又因为，

当时，，

即，即，

因为，则或0，则，

显然当时，，无实数解；

当时，，则或（舍去），

当时，，

即，即，

因为，则或，则，

显然当时，，无实数解；

当时，，则或（舍去），

综上所述：.

故答案为：2.

二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意可知，，

则，

即，得，.

故选：A.

14.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设，，，

因为函数是定义在上的偶函数，所以.

故选：B.

15.若对任意实数x都有，则角的终边在（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】D

【解析】，

，

因为，所以角的终边在第四象限.

故选：D.

16.设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设的值域为，的值域为，

则由题意得，因为，则，

则，则，

因为，所以，

对A，当时，，则，

则，不满足，故A错误；

对B，当时，，，

则，则，满足，故B正确；

对C，当时，，，

则，则，

不满足，故C错误；

对D，当时，，则，

则，不满足，故D错误；

故选：B.

三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．

17.已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．

解：，

设，则，

∵，∴.

18.已知，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

解：（1）由，且，

可得；

由二倍角公式可得；

；

所以.

（2）由（1）可得，

所以.

19.（1）已知P是直线上一点，（为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标．

（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？

解：（1）由题意得，

故，解得；

故点P的坐标为.

（2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，

直线，即，

设直线，