湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三3月学情调研数学试卷【含答案】.docx

湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三3月学情调研数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．集合，则（）

A． B．

C． D．

2．复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（???）

A． B． C． D．

3．如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（????）

??

A． B．

C． D．

4．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的首项（????）

A．3 B．2 C．1 D．

5．四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为

A．96 B．72 C．108 D．144

6．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（????）??

A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数中位数平均数

C．图（2）的平均数众数中位数 D．图（3）的平均数中位数众数

7．已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（）

A． B． C．254 D．2025

8．已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则为（????）

A．2 B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数，则下列说法中正确的有（????）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．在上单调递增

D．若，则的最小值为

10．已知.设命题：过点恰可作一条关于的切线.以下为命题的充分条件的有（????）

A． B．

C． D．

11．若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是（????）

A．若是“阶集”，则

B．若是“阶集”，则为任意正实数

C．若是“阶集”，则

D．若是“阶集”，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为.

13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则.

14．在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知函数，且.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值.

16．已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．

(1)求证：；

(2)为棱上一点，且二面角为，求的值．

17．在矩形中，点在线段上，且.

(1)求；

(2)若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值.

18．已知事件满足.证明：

(1)若，则与独立；

(2).

19．设点A为双曲线的左顶点,直线l经过点,与C交于不与点A重合的两点P,Q．

(1)求直线的斜率之和;

(2)设在射线上的点R满足,求直线的斜率的最大值．

参考答案

1．【答案】B

【详解】由题设，且，则.

故选B．

2．【答案】A

【详解】，，

由得，

，

故.

故选A.

3．【答案】A

【详解】连接，，

则

.

故选A．

??

4．【答案】B

【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，即，所以，

又因为，可得，即，联立解得，.

故选B.

5．【答案】D

【详解】如图，把五块区域编号，第一步涂有4种可能，第二步涂有3种可能，第三步，又分类：按同色有种，不同色有种，

共有方法数为．

故选D．

6．【答案】C

【分析】根据平均数、中位数、众数的概念，结合图形分析即可求解.

【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；

图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；

图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.

故选C.

7．【答案】B

【详解】由是偶函数推出的性质，

因为是定义域为的偶函数，

所以，即，

对于任意都成立，那么.

用代替，可得，即.

又因为，则关于直线对称，所以.

由和可得，

再用代替，得到，即，

而，所以，进而，所以函数的周期是.

已知当时，.

..

因为的图象关于直线对称，所以，.

.

.，，.

则.

因为，其中是余数.

所以.

，

故选B.

8．【答案】A

【分析】根据题意，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义，得到，再由的方程为