福建省莆田市莆田第二中学2024−2025学年高一下学期3月单元自我检测 数学试卷（含解析）.docx

福建省莆田市莆田第二中学2024?2025学年高一下学期3月单元自我检测数学试卷

一、单选题（本大题共7小题）

1．若是三个任意向量，则下列运算错误的是（????）

A． B．

C． D．

2．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（???）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

3．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（????）

A．8 B．10 C．12 D．14

5．已知，向量，且，则（????）

A． B． C． D．

6．如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（???）个不同的正值．

A． B． C． D．

7．点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（????）

A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心

C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心

二、多选题（本大题共4小题）

8．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（????）

A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个

C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个

9．下列各组向量中，不可以作为基底的是（????）

A． B．

C． D．

10．设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（????）

A．的周期是

B．的一个对称中心可以是

C．的一个单调递增区间可以是

D．的一条对称轴可以是

11．一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（????）

A．若，则存在实数使得 B．

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里.

13．已知的三个内角分别为、、，，求的值．

14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑，工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.

若点为弧上的一点，则的最小值为．

若点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值．

四、解答题（本大题共5小题）

15．根据下列条件解三角形：

(1)，，；

(2)，，；

16．设是不共线的两个非零向量．

(1)若，求证：三点共线；

(2)已知向量满足．求；

17．在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为.

(1)求的大小；

(2)求面积的最大值.

18．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.

(1)求.

(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.

19．已知向量，，函数，其中．

(1)若，求的对称中心；

(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值；

(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．【答案】B

【解析】对于A,利用向量的平方等于模的平方得出结论；对于B，利用平面向量数量积为实数得出结论；对于C，利用平面向量乘法分配律得出结论；对于D，利用向量的平方等于模的平方得出结论.

【详解】对A，正确；

对B，得出的是标量，故结果是与共线的向量，同理得出的是与共线的向量，故不一定正确；

对C，向量满足乘法分配律，正确；

对D，向量满足基本的完全平方差公式，正确.

故选B.

2．【答案】C

【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；

由，由正弦定理得，所以；

则“”是“”的充要条件.

故选C.

3．【答案】B

【详解】设向量与的夹角为，则所求投影向量为．

因为，所以，又因为，，所以，

所以，

故选B.

4．【答案】C

【详解】因为，，所以，

故，

因为，当且仅当时，等号成立，

故，则此三角形面积的最大值为12.

故选C.

5．【答案】C

【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或