第二节函数的值域.docx

第二节函数的值域

考点一：常见函数求值或值域

1．函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．

求函数值应遵循的原则：

①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．

②求的值应遵循由里往外的原则．

③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．

2.常见函数的值域

(1)一次函数的值域为R.

(2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，

(3)反比例函数的值域为.

(4)指数函数的值域为.

(5)对数函数的值域为R.

(6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R.

(7)对勾函数：对勾函数：值域：

◆典例分析◆

例1已知函数．则的值为（）

A．6 B．5 C．4 D．3

解：根据题意，函数，若，解可得，

将代入，可得，

故选：．

例2已知函数，，则函数的值域为.

解函数在区间上为增函数，

所以，该函数的最大值为，最小值为，

因此，该函数的值域为.

故答案为.

例3求函数的值域.

解∵，∴,

∴的值域为.

◆对点练习运用◆

1.函数的值域为

解因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为.

故答案为：

2.已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于()

A．－4B．－2C．2D．4

答案B

解析令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2.

3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x1，,x2，x≥1，))则f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若f(a)a，则a的取值范围是________．

答案4(－1,1)∪(1，＋∞)

解析因为f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＋1＝2，

所以f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝22＝4.

当a≥1时，f(a)a?a2a，解得a1；

当a1时，f(a)a?2a＋1a，解得－1a1，

所以不等式的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)．

考点二单调性法求值域

1.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）

（1）形如的函数可用函数单调性求值域；

（2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；

当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解.

◆典例分析◆

例1已知函数，则函数的值域为．

解，

其对称轴x=1穿过闭区间，

函数在时，，

又在上递减，在递增，

，

函数在时，，

该函数的值域为．

故答案为．

例2函数的值域为________________．

解由函数解析式知：在和上递减，

∴时，函数值域为.

故答案为：.

◆对点练习运用◆

1.函数，的值域为.

解二次函数的开口向上，对称轴为，

所以当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

所以函数的值域为.

故答案为：

2.函数，的值域是．

解由，

可知，函数单调递减，当时，函数单调递增，

故时，，时，，即.

故答案为：

3.函数的值域是（）

A． B． C． D．

解由、在上都单调递减，

∴，在上单调递减，

∴当时，有，所以值域为.

故选：B.

考点三根式求值域

1.单根式：单调性法．

2.双根式：平方法．

3.换元法：单根式也适用．

◆典例分析◆

例1函数的值域为（????）

A． B． C． D．

解令，

当时，，又，

所以，，即

所以，

故选：D．

例2.已知函数，则函数的定义域为，值域为.

解因为，

所以，解得，即的定义域为；

易知．

又，

对于，其开口向下，对称轴为，

所以时，有最大值，

当或时，有最小值0，

所以当时，的值域为，

则的值域为，故求的值域为．

故答案为：；.

◆对点练习运用◆

1.求函数f（x）=x–x+1的值域.

解令=t（t≥0），则x=t2–1，所以y=t2–t–1（t≥0）．

因为抛物线y=t2–t–1开口向上，对称轴为直线t=∈[0，+∞），所以当t=时，y取得最小值为–，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–，+∞）．

2.求函数值域.

解函数中，令得，

易见函数和都是减函数，

故函数在时是递减的，故时，

故值域为（5）；

3.求函数的值域.

解函数，定义域为，令，