安徽省马鞍山市2024-2025学年高三上学期第一次教学质量监测 数学试题【含答案】.docx

2025年马鞍山市高三第一次教学质量监测

数学

本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

2.i是虚数单位，，若复数z满足，则（）

A. B. C. D.

3.已知平面向量，满足，，，则向量与向量的夹角为（）

A. B. C. D.

4.设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（）

A B. C. D.

5.在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（）

A. B. C. D.

6.已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为（）

A.6 B.7 C.8 D.9

7.已知函数，若，，，则（）

A B. C. D.

8.如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上一个动点，则（）

A.点和点均不在上 B.的最大值与最小值之和为22

C.点P的纵坐标的最大值为 D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A. B.是偶函数

C.的一个周期为 D.在区间单调递增

10.甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（）

A. B.

C. D.

11.在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足，其中，则（）

A.平面平面

B.对于任意，三棱锥的体积为定值

C.周长的最小值为

D.当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在某次马鞍山市高三一模联考中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高依次为：71，76，91，101，116，120，131，141，则第70百分位数为________．

13.在等比数列中，，．则________．

14.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为________；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.记锐角三角形内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求；

（2）求的最大值．

16.如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，，，底面，点M是线段的中点，点N在线段上，且，点K为线段的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

17.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点．

18.已知函数．

（1）若，求函数的最大值；

（2）若函数有两个不同的零点m，n．

（ⅰ）求实数k的取值范围；

（ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

19.对于正整数m，记集合为所有m次整数系数多项式方程的实数根构成的集合，即，其中x称为代数数．例如是整数系数多项式方程的根，所以，它是代数数．

（1）判断是否为代数数，并说明理由；

（2）设，，若恒成立，求实数t的最大值；

（3）设无理数，求证：存在正实数t，对于一切且，都有．

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数学

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