湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024−2025学年高三下学期月考（七）数学试卷（含解析）.docx

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024?2025学年高三下学期月考（七）数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．设全集，集合，则（）

A． B． C． D．

2．已知复数满足：，且的实部为2，则（????）

A．2 B． C． D．5

3．（????）

A． B． C． D．

4．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（????）

A．15 B．18 C．30 D．36

5．已知，，则数列的通项公式为（）

A． B． C． D．

6．在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（????）

A． B．

C． D．

7．设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2

A．43 B．53 C．94

8．已知，则的值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．设是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是（????）

A．直线过点

B．直线的斜率即为和的相关系数

C．和的相关系数在到1之间

D．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数相等

10．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的叙述正确的是（????）

A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间单调递增

C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2

11．已知，且，函数，则（????）

A．当时，恒成立

B．当时，有两个零点

C．当时，有且仅有1个零点

D．存在，使得存在三个极值点

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知椭圆的焦点为，且离心率，若点在椭圆上，，则.

13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．

14．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．在中，内角所对的边分别为，已知.

(1)求的值；

(2)若的面积为3，求的值.

16．如图，三棱锥中，平面，是空间中一点，且平面.

??

(1)证明：平面；

(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.

17．年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

44

4.8

10

40.3

1.608

19.5

8.04

现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（精确到小数点后两位）

(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费?研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润×年销售量年广告费年研发经费随机变量）.

附：①相关系数，

回归直线中；

②参考数据：

18．已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）.

(1)求的值；

(2)设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；

(3)面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点.

19．已知函数.

(1)当时，若恒成立，求的取值范围；

(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；

(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.

参考答案

1．【答案】D

【详解】由题意，，

因为，

所以，

因为，

所以．

故选D．

2．【答案】B

【详解】设，则，而，

∴，解得，

∴，故.

故选B.

3．【答案】D

【详解】由题意，

.

故选D.

4．【答案】C

【详解】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.

按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为.

故选C.

5．【答案】A

【详解】，

则

两式相加得

所以，

所以.

故选A.

6．【答案】D

【详解】如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线折成，则点在面内的射影在线段上（不包含两点），

设到平面上的距离为，则，

由二面角，线面角的定义得：，

显然，所以最大，所以最大，

当与重合时，，

因为，所以，则，所以，

所以，

故选D.

7．【答案】B

【解析】根据双曲线的定义可得PF1-PF2=2a,则