人教A版高一数学必修二第二学期8.6.2直线与平面垂直.pptx

人教A版高一数学必修二第二学期8.6.2直线与平面垂直

第八章立体几何初步

8.6.2直线与平面垂直

核心素养目标

1.数学抽象：从实际情境和具体图形中，抽象概括出直线与平面垂直的概念和相关定理。

2.直观想象：通过生活实例与模型，直观感受直线与平面垂直的具体形象，增强对空间几何的想象能力。

3.逻辑推理：深入探究并严格证明直线与平面垂直的判定及性质定理，锻炼逻辑推导能力。

4.数学运算：在涉及直线与平面垂直的几何问题中，精准运用定理进行线段长度、角度等的计算。

教学目标

教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的理解与应用。

教学难点：1.直线与平面垂直判定定理的探究与证明。

2.灵活运用判定定理和性质定理解决综合问题。

知识讲解

直线与平面有几种位置关系？

直线在平面内

直线与平面平行

直线与平面相交

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知识讲解

空间中直线与平面的位置关系

知识讲解

始终垂直

知识讲解

旗杆与地面

如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？

地面上不过点B的任意直线B’C’，AB与B’C’垂直吗？

旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直.

垂直

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知识讲解

直线与平面垂直：

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直，记作l⊥α。

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知识讲解

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，l与α的公共点P叫做垂足。

作用：

知识讲解

平面几何中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

思考：空间几何中，过一点与已知直线垂直的直线有几条？你能用笔搭建模型进行解释吗？

无数条

知识讲解

文字语言

图形语言

符号语言

作用

判定直线与平面垂直，直线与直线垂直.

直线与平面垂直（定义）

知识讲解

文字语言

图形语言

符号语言

作用

判定直线与平面垂直

直线与平面垂直的判定定理

知识讲解

直线与平面垂直的判定定理：

符号表示

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？

不能

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知识讲解

如图，一条直线与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平

面上的射影；

平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

知识讲解

如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？

PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．

平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小．

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知识讲解

一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.

一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角．

直线与平面所成的角的取值范围是:[0°,90°]

知识讲解

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α.

证明：

如图，在平面α内取两条相交直线m，n.

∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n.

又∵a//b，∴b⊥m，b⊥n.

又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线.

∴b⊥α.

结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(证明线面垂直的另一方法)

知识讲解

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.

解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.

∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.

在Rt△A1BO中，A1B=a，BO=a.

∴BO=A1B，∠BA1O=30°.

∴A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.

知识讲解

知识讲解

求直线与平面所成的角的步骤：

(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；

(2)定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

知识讲解