上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷.docxVIP

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上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若复数，其中是虚数单位，则.

2．函数（常数且）的图像必定经过点．

3．已知，．若，则的值是．

4．物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为（单位：牛顿）.

5．已知，，则在方向上的投影向量为．（用坐标表示）

6．函数的频率为．

7．函数，的值域为．

8．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为．

9．已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是．

10．已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为．

11．平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是．

12．已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为．

二、单选题

13．设、，则“”是“”的（???）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

14．复数，在复平面上对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．已知，，若，则点的坐标为（???）

A． B． C． D．

16．设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当a变化时，以下不可能的情形是（????）

A．且 B．且 C．且 D．且

三、解答题

17．已知平面上的两个向量（），.

(1)求证：向量与垂直；

(2)当向量与的模相等时，求的大小.

18．已知（，，），函数的部分图象如图所示.

(1)求，，，的值；

(2)求函数的值域.

19．如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.

（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）

20．已知，为虚数单位．定义，．

(1)计算，；

(2)求集合在复平面上对应的区域的面积；

(3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．

21．已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．

(1)下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；

①；②；③（表示不超过的最大整数）．

(2)已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．

(3)已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．

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《上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

A

C

D

D

1．5

【分析】求得，由此求得.

【详解】由于，所以，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数乘法运算，属于基础题.

2．

【分析】根据对数函数的性质计算可得.

【详解】对于函数（常数且），

令，解得，此时，

即函数（常数且）的图像必定经过点.

故答案为：

3．6

【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.

【详解】因为，则，解得.

故答案为：6.

4．

【分析】根据题意设第三个力为,根据向量的加法列等式,求出,即得向量,

再根据求模公式算出力的大小.

【详解】解：因为物体受到三个力的作用.

,,合力.

设第三个力为

即

故答案为：

【点睛】本题考查向量的加法运算和向量求模,属于简单题.

5．

【分析】首先求出，，再由在方向上的投影向量为计算可得.

【详解】因为，，

所以，，

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：

6．

【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解.

【详解】由题意有，所以，

故答案为：.

7．

【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦