湖南省长沙市浏阳市重点校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷【含答案】.docx

湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一（下）

期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1．（5分）已知集合，，则（）

A． B． C． D．

2．（5分）已知复数，则z的虚部是（）

A． B． C． D．

3．（5分）已知角α的终边上有一点，则的值为（）

A．3 B．-3 C．1 D．-1

4．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

5．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（）

A． B． C． D．

6．（5分）已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为上底面圆弧的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

7．（5分）已知，，均为单位向量，，则的值为（）

A． B． C． D．

8．（5分）如图为函数的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

（多选）9．（5分）以下结论正确的有（）

A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B．等底面积、等高的两个柱体，体积相等

C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大

D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

（多选）10．（5分）以下命题正确的是（）

A．

B．

C．若复数z满足，则z对应的点在第四象限

D．是复数（，）为纯虚数的必要不充分条件

（多选）11．（5分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的有（）

A．若，则

B．若，，，则有一解

C．已知的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有，

D．若为斜三角形，则

（多选）12．（5分）如图，在正方体中，点P是的中点，点Q是直线上的动点，则下列说法正确的是（）

A．是直角三角形

B．异面直线PD与所成的角为

C．当AB的长度为定值时，三棱锥的体积为定值

D．平面平面

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）已知向量与的夹角为，，，则____．

14．（5分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为.（结果用坐标表示）

15．（5分）已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是．

16．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若，的面积为，求b．

18．（12分）已知向量，．

（1）若向量，且，求的坐标；

（2）若向量与互相垂直，求实数k的值．

19．（12分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．

20．（12分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠，点E，F的直径AB上，且．

（1）若，求AE的长；

（2）设，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

21．（12分）已知函数是定义域为R的奇函数．

（1）求a的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）如图，在三棱台中，，，，．

（1）求证：平面平面ABC；

（2）若直线AE与平面BCFE所成角为，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1．【解答】解：集合，，则．

故选：B．

2．【解答】解：，则z的虚部是．

故选：B．

3．【解答】解：依题意得，则．

故选：B．

4．【解答】解：对于A，，，，则a与b可能平行或异面；

对于B，，，，可得a∥b；

对于C，，，，则a与b可能平行，相交或异面；

对于D，，，，