山东省名校联盟2024−2025学年高一下学期3月校际联考 数学试题（含解析）.docx

山东省名校联盟2024?2025学年高一下学期3月校际联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知向量，则（）

A． B． C． D．

2．已知是虚数单位，则（????）

A． B． C． D．

3．在中，已知，则的面积为（）

A． B． C．1 D．2

4．在中，在线段上，为的角平分线，若，则（）

A． B．

C． D．

5．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（）

A． B． C． D．

6．已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（）

A． B． C． D．

7．如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）

??

A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.926

8．已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知平面向量，则下列说法正确的是（）

A． B．

C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为

10．设为复数，则下列结论正确的有（）

A． B．

C．若，则 D．若，则

11．已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为．

13．如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为．

14．在圆内接四边形中，，则面积的最大值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．在三角形中，分别是边的中点，已知．

(1)求三角形的面积；

(2)求三角形的周长．

16．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若，求；

(2)若，求的值．

17．已知是平面内两个不共线的向量．

(1)若，求证：三点共线；

(2)试确定实数，使和共线；

(3)若，求实数的值．

18．已知三角形的内角的对边分别是，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；

(3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．

19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．

(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；

(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；

(3)已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．

参考答案

1．【答案】D

【详解】由向量，得.

故选D．

2．【答案】A

【详解】.

故选A．

3．【答案】A

【详解】.

故选A.

4．【答案】C

【详解】在中，为的角平分线，，

，即，

因此，所以.

故选C．

5．【答案】A

【详解】在中，由正弦定理得，则，

在中，，所以.

故选A．

6．【答案】B

【详解】设射线为终边的角为，而，则，

，，

向量对应复数，

所以向量的坐标为.

故选B．

7．【答案】C

【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为，

依题意，，

则，则，得，

因此

.

??

故选C．

8．【答案】B

【详解】设向量共起点，由，得，

令，则，，

因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，

由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，

??

而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，，

所以的最小值为.

故选B．

9．【答案】ABD

【详解】由向量，得，，

对于A，，则，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，则，C错误；

对于D，，向量在上的投影向量，D正确.

故选ABD．

10．【答案】AB

【详解】设，

对于A，，则，

，A正确；

对于B，

，B正确；

对于C，取，满足，而，，C错误；

对于D，取，，而，D错误.

故选AB．

11．【答案】ACD

【详解】对于A，由重心为G，得，

则，A正确；

对于B，外心为O，有，，

，B错误；

对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得，

因此，C正确；

对于D，由，得，则，

，D正确.

故选ACD．

12．【答案】

【详解】，因为纯虚数，

则.

13．【答案】3

【详解】由，得，

而，，则，

又、、三点共线，则，所以.

14．【答案】

【详解】在中，，

由余弦定理得，

则，，是四边形外接圆直径，，

??

设，则，

在中，，

由正弦定理得，即，

在中，，

，