山西大学附属中学校2024−2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次） 数学试题（含解析）.docx

山西大学附属中学校2024?2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设，为非零向量，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（????）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（????）

A． B． C．1 D．2

4．在中，，，则的值为（???）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．在中，，E为AD的中点，则（）

A． B．

C． D．

6．已知向量满足，则（）

A． B． C． D．

7．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（????）

A．8 B．12 C．22 D．24

8．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（????）

A． B．0 C．1 D．2

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知向量，则（????）

A．

B．

C．与的夹角可能为

D．向量与不可能垂直

10．的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（）

A．

B．是锐角三角形

C．若，则外接圆半径为4

D．的最大内角是最小内角的2倍

11．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（????）

A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个

C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知点，，若，则点的坐标为．

13．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是写一个即可

14．在中，，为的重心，的中垂线交于点，且，则．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知向量，，．

(1)求；

(2)若向量，试用表示；

(3)若，求实数的值．

16．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)若，求角的大小；

(2)若，求边上的高.

17．的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若的面积为．求的周长．

18．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．

(1)求的值；

(2)若为线段上任意一点，求的取值范围．

19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．

(1)已知，求；

(2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；

②在中，且，若，求．

参考答案

1．【答案】B

【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，

故得不到，

若，则，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

2．【答案】C

【详解】如图，在平行四边形中，且，

A：，故A正确；

B：，故B正确；

C：由，得，故C错误；

D：，故D正确.

故选C.

3．【答案】C

【详解】解：若，

则，即，

向量，，

则，解得

故选C.

4．【答案】B

【详解】解：中，，

，

即，化简得，

解得或（不合题意，舍去），

，

故选B．

5．【答案】A

【详解】中，不共线，又因为，

则，

因为为的中点，，

所以.选A.

6．【答案】D

【详解】已知，移项可得，

因为，所以，

对两边同时平方可得，

根据完全平方公式则，

又因为，，所以可化为，

由，移项可得，则，

根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，

则.

故选D.

7．【答案】C

【详解】易知：，，且，.

由.

故选C.

8．【答案】B

【详解】可设，，，

则.

可设，

则.

故选B.

9．【答案】AD

【详解】对于A:因为，所以，故A正确.

对于B:因为，所以,

当时,，故B错误.

对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误.

对于D:因为

所以,

令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确.

故选AD.

10．【答案】ABD

【详解】设，，.

将这三个式子相加可得：，即.

用分别减去，，，可得：

，，.

所以.

根据正弦定理（为外接圆半径），

可得，故选项A正确.

因为最大，所以角最大.

根据余弦定理，将，，代入可得：

，所以角为锐角.

因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.

已知，由，可得，则.

由正弦定理，，可得.

所以，则，故选项C错误.

因为最小，所以角最小.

.

，而，所以.

因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.

故选ABD.

11．【答案】BCD

【详解】如图建系，取，∵，

∴，

动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，

当时，有且，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

当时，有且，则，∴，∴，

综上，，

选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；

选项B，当点取点或的中点时，均满足，此