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2025年黑龙江省哈尔滨名校高三第二次高考科目质检数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则()
A. B. C. D.
2.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.0
3.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()
A. B. C. D.
4.设集合,,则集合
A. B. C. D.
5.已知与分别为函数与函数的图象上一点,则线段的最小值为()
A. B. C. D.6
6.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()
A.8 B.9 C.10 D.11
7.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
8.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()
A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变
B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变
C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变
D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变
9.已知函数f(x)=xex2+axe
A.1 B.-1 C.a D.-a
10.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()
A. B.
C. D.
11.已知随机变量服从正态分布,,()
A. B. C. D.
12.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图梯形为直角梯形,,图中阴影部分为曲线与直线围成的平面图形,向直角梯形内投入一质点,质点落入阴影部分的概率是_____________
14.两光滑的曲线相切,那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示,一列圆(an0,rn0,n=1,2…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=___,rn=______
15.设函数,,其中.若存在唯一的整数使得,则实数的取值范围是_____.
16.已知函数,若,则实数的取值范围为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)若函数为奇函数,且时有极小值.
(1)求实数的值与实数的取值范围;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)已知数列满足:对一切成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
19.(12分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,
.
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:
①对任意,;
②.
证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);
(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);
(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.
20.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.
(1)求证:;
(2)若时,恒成立,求的取值范围.
21.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.
(1)求BC的长度;
(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?
22.(10分)已知函数,曲线在点处的切线方程为
求a,b的值;
证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
解不等式得出集合A,根据交集的定义写出A∩B.
【详解】
集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},
,
故选C.
本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.
2.C
【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.
【详解】
由三视图还原原几何体如图,
其中,,为直角三角形.
∴该三棱锥
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