2025北京重点校九年级（上）期末数学汇编：圆的性质（京改版）（解答题）.docx

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2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

圆的性质（京改版）（解答题）

一、解答题

1．（2025北京顺义初三上期末）数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，是的直径，射线交于点．

求作：的中点．

小华的作法：

①在射线上截取，使；

②连接，交于点．

所以点就是所求作的点．

(1)按照小华的作法，补全图形；

(2)补全下面的证明．

证明：连接，

是的直径，

______（???）（填推理依据）．

，

∴∠BAD=∠EAD．

______．

点为的中点．

2．（2025北京大兴初三上期末）如图，△ABC是的内接三角形，延长至点，平分交于点，连接，求证：

3．（2025北京大兴初三上期末）在平面直角坐标系中，对于点P和半径为1的给出如下定义：若过点P的直线l交于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为的关联点．

(1)当点C与O重合时，

①在点，中，的关联点是______；

②已知点在直线上，若点P为的关联点，求m的取值范围；

(2)的圆心，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段上存在的关联点P，则c的取值范围是______．

4．（2025北京门头沟初三上期末）下面是圆周角定理的证明过程，选择情况或情况，补全该情况的证明过程．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

已知：在中，所对的圆周角为，圆心角为．

求证：．

证明：情况：如图，当点在的一边上时：

，

．

，

．

即．

情况：如图，当点在的内部时：

情况：如图，当点在的外部时：

5．（2025北京密云初三上期末）在平面直角坐标系中，半径长为1，为的一条弦，若，则称点P为的弦的度相关点．

(1)如图，直线与交于A，B两点，在点，，中，是弦的相关点的有．

(2)已知的弦的长为，点P是弦的相关点，T是中点，则面积的最大值为，当面积取得最大值时长为．

(3)已知点Q是直线上的一个动点，且存在的弦，，点Q为的弦的相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围．

6．（2025北京密云初三上期末）如图，是的直径，是的弦，于E．

(1)求证：；

(2)若，，求的半径长．

7．（2025北京房山初三上期末）如图，是直径，是的一条弦，且于点E，连接和．

(1)求证：；

(2)若，求的半径．

8．（2025北京西城初三上期末）给定圆和直线，过圆上一点作直线于点，直线与圆的另一个交点记为，将称为点关于直线的特征值．特别地，当点与点或重合时，点关于直线的特征值为；当点和重合时，点关于直线的特征值为．

在平面直角坐标系中，

(1)圆是以点为圆心，为半径的圆，

若点的坐标是，则它关于轴的特征值是：_______；

点是圆上一动点，将点关于轴的特征值记为，则的取值范围是__________；

(2)已知圆的半径为，直线，若圆上存在关于直线的特征值是的点，直接写出的取值范围．

9．（2025北京门头沟初三上期末）如图，在中，是直径，是弦，于点E，，．求的半径．

??

10．（2025北京通州初三上期末）在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．

(1)如图1，已知点；

①点，，中是关于的“弦中点”的是______；

②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；

(2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．

11．（2025北京西城初三上期末）如图，是△ABC的外接圆，=，直径，垂足是．

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)若，求的长．

12．（2025北京东城初三上期末）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．

13．（2025北京海淀初三上期末）已知：如图，是的弦．

求作：上的点，使得．

作法：①连接并延长交于；

②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；

③作直线交于点，，连接，．

所以，点，就是所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明：

证明：连接，．

，，

（______）（填推理的依据）．

．

，，，都在上，

，（______）（填推理的依据）．

．

14．（2025北京东城初三上期末）已知：为△ABC的外接圆，D是边上的一点，连接．

求作：，使得点E在线段上，且．

作法：

①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P；

②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E；

③连接，．

就是所求作的角．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明．

证明：连接．

∵点A