2025北京重点校九年级（上）期末数学汇编：圆（下）章节综合（京改版）（解答题）.docx

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2025北京重点校初三（上）期末数学汇编

圆（下）章节综合（京改版）（解答题）

一、解答题

1．（2025北京顺义初三上期末）如图，点P为外一点，过点P作的切线和，切点分别是点A和点B，连接，直线与交于点C和点E，交于点D，连接，．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若，，求的长．

2．（2025北京朝阳初三上期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点．

(1)求证：与相切；

(2)若，求的长．

3．（2025北京朝阳初三上期末）北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边长为，在测量时，用直角曲尺的长边贴紧圆形石坛的边缘，并使短边与圆形石坛的边缘接触，此时长边与圆形石坛的接触点记为点D，量得的长为，示意图如图2所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

4．（2025北京昌平初三上期末）如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且．

(1)求证：为的切线；

(2)连接，若，求的长．

5．（2025北京大兴初三上期末）如图，等腰△ABC内接于，，为直径，连接交于点E，延长至点P，使得，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

6．（2025北京门头沟初三上期末）如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”．

(1)如图2，已知点，．

①在点，，中，是线段的“优关联点”的是；

②如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围．

(2)如图3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围．

7．（2025北京西城初三上期末）如图，是的直径，弦，过点作的切线交的延长线于点，连接，．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

8．（2025北京密云初三上期末）如图，是的直径，是的弦，延长至，，过作交于点．

(1)求证：是的切线；

(2)连接，若，，求长．

9．（2025北京东城初三上期末）如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若的半径为3，，求的长．

10．（2025北京平谷初三上期末）如图，已知△ABC中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

11．（2025北京燕山初三上期末）在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”．

(1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是；

(2)已知点P为的“图象关联点”，且，

①判断与的位置关系，并证明；

②直接写出抛物线的顶点坐标．

(3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围．

12．（2025北京燕山初三上期末）如图，是的直径，过点作的切线，点、、分别为的三等分点，连接，，，延长交于点，交于点．

(1)求证：；

(2)连接，若，求的面积．

13．（2025北京丰台初三上期末）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，点P在外．

求作：的切线，使它经过点．

作法：①作射线交于A、B两点；

②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，；

③连接，分别交于点，；

④作直线，．

直线，为所作的切线．

根据小明设计的尺规作图过程．

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明

证明：连接．

在中，点A，B，C在上，

，

，

．

，

（）（填推理依据）．

∴直线是的切线（）（填推理依据），

同理可证，直线是的切线．

14．（2025北京丰台初三上期末）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E．

(1)求证：；

(2)过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长．

15．（2025北京通州初三上期末）如图，在△ABC中，，O是的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E．

(1)依题意补全图形，判断直线与图形G的公共点个数并加以证明；

(2)延长线交图形G于点F，如果，，求的长．

16．（2025北京海淀初三上期末）如图，，分别与相切于，两点，的延长线交