线性代数第2讲行列式的计算,克莱姆法则.pptxVIP

2025/4/271线性代数第2讲行列式的计算,克莱姆法则

2025/4/272例1上三角行列式(ij时,aij=0)这是因为上三角行列式的转置是下三角行列式.

2025/4/273解例2计算4阶行列式#2022

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2025/4/276例3

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2025/4/278例4行列式D=的元素满足aij=-aji(i,j=1,2,...,n),就称D是反对称行列式,证明奇数阶反对称行列式的值为零.

证设将D转置再每一行都乘-1.

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2025/4/2710例5证明证把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得

2025/4/2711例6计算n阶行列式解把各列都加到第一列,提出第一列的公因子[x+(n-1)a],然后将第一行乘-1分别加到其余各行,D就化为上三角行列式.

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2025/4/2713例8证明范德蒙行列式

2025/4/2714例如

2025/4/2715证用数学归纳法证明.当n=2时,结论成立.假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立,证明对n阶范德蒙行列式结论也成立.在Vn中,从第n行起,依次将前一行乘-x1加到后一行,得

2025/4/2716按第一列展开,并分别提取公因子,得

2025/4/2717根据归纳假设可得结论.

2025/4/27181.3克莱姆(Cramer)法则

2025/4/2719或简记为定理(Cramer法则)设线性齐次方程组

2025/4/2720其系数行列式则方程组(1.23)有唯一解

2025/4/2721其中Dj是用常数项b1,b2,...,bn替换D中第j列所成的行列式,即

2025/4/2722证先证(1.25)是方程组(1.23)的解,根据(1.26)式,其中Akj是系数行列式中元素akj的代数余子式.将

2025/4/2723得

2025/4/2724证解的唯一性,设c1,c2,...,cn是一组解,即在上面n个等式两端,分别依次乘A1j,A2j,...,Anj,然后再把这n个等式的两端相加,得

2025/4/2725上式左端除cj的系数为D外c1,...,cn的系数全为零,右端等于Dj,因此Dcj=Dj,故分别取j=1,2,...,n就证明了解的唯一性.

2025/4/2726推论2齐次线性方程组推论1若齐次线性方程组

2025/4/2727用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次线性方程组,需要计算n+1个n阶行列式,它的计算工作量很大.实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用第2章中介绍的高斯消元法.Cramer法则主要是从理论上具有重要意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.

2025/4/2728例1已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x=?1,x=?2处的值为:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)=-6,试求其系数a0,a1,a2,a3.

解将三次曲线在4点处的值代入其方程,得到关于a0,a1,a2,a3的非齐次线性方程组

2025/4/2729它的系数行列式为范德蒙行列式

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2025/4/2732所以a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1,即所求的三次曲线方程为

f(x)=8-x-2x2+x3.

由上述解题过程可知,过n+1个x坐标不同的点(xi,yi),i=1,2,...,n+1,可以唯一地确定一个n次曲线的方程y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.

2025/4/2733例2求四个平面aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一点的充分必要条件.

解把平面方程写成

aix+biy+ciz+dit=0,

其中t=1,于是四个平面交于一点,即x,y,z,t的齐次线性方程组

2025/4/2734有唯一的一组非零解(x0,y0,z0,1),根据齐次线性方程组有非零解的必要和充分的条件(充分性以后将证明)是系数行列式等于零,即得四平面相交于一点的充分必要条件为

2025/4/2735今天作业:第35页开始,第27,31,33题