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管综199考试练习题

选择题

1.已知函数$f(x)=x^2+2x3$，则$f(2)$的值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

详细解答：将$x=2$代入函数$f(x)=x^2+2x3$中，可得$f(2)=2^2+2\times23=4+43=5$。

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，则$a_5$等于（）

A.11

B.12

C.14

D.17

答案：C

详细解答：根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n1)d$，当$n=5$，$a_1=2$，$d=3$时，$a_5=a_1+(51)d=2+4\times3=2+12=14$。

3.某班级有男生20人，女生30人，现从中随机抽取5人，则至少抽到1名男生的概率为（）

A.$\frac{C_{20}^1C_{30}^4+C_{20}^2C_{30}^3+C_{20}^3C_{30}^2+C_{20}^4C_{30}^1+C_{20}^5}{C_{50}^5}$

B.$\frac{C_{20}^1C_{30}^4}{C_{50}^5}$

C.$1\frac{C_{30}^5}{C_{50}^5}$

D.$\frac{C_{20}^1C_{49}^4}{C_{50}^5}$

答案：C

详细解答：“至少抽到1名男生”的对立事件是“没有抽到男生（即全抽到女生）”。从50人中选5人的组合数为$C_{50}^5$，从30名女生中选5人的组合数为$C_{30}^5$，所以至少抽到1名男生的概率为$1\frac{C_{30}^5}{C_{50}^5}$。

填空题

1.若函数$y=\log_2(x+1)$的定义域为集合$A$，集合$B=\{x|x^24x+3\lt0\}$，则$A\capB$为______。

答案：$\{x|1\ltx\lt3\}$

详细解答：对于函数$y=\log_2(x+1)$，要使其有意义，则$x+1\gt0$，即$x\gt1$，所以$A=\{x|x\gt1\}$。解不等式$x^24x+3\lt0$，即$(x1)(x3)\lt0$，可得$1\ltx\lt3$，所以$B=\{x|1\ltx\lt3\}$。则$A\capB=\{x|1\ltx\lt3\}$。

2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(m,1)$，若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$m$的值为______。

答案：2

详细解答：若两个向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$垂直，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(m,1)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$1\timesm+2\times1=0$，即$m+2=0$，解得$m=2$。

判断题

1.若$a\gtb$，则$a^2\gtb^2$。（）

答案：错误

详细解答：当$a=1$，$b=2$时，$a\gtb$，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2\ltb^2$，所以该命题错误。

2.圆$x^2+y^2=4$与直线$x+y2=0$相切。（）

答案：正确

详细解答：圆$x^2+y^2=4$的圆心坐标为$(0,0)$，半径$r=2$。根据点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，对于直线$x+y2=0$和点$(0,0)$，$A=1$，$B=1$，$C=2$，$x_0=0$，$y_0=0$，则圆心到直线的距离$d=\frac{|0+02|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，而直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，这里$d=\sqrt{2}\neq2$，所以该命题错误。（这里原答案有误，重新给出正确分析）圆$x^{2}+y^{2}=4$的圆心$(0,0)$，半径$r=2$，根据点到直线距离公式$d=\frac{\vert0+02\vert}{\sqrt{