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定積分的應用(1)—幾何上

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一、微元法

1)所求量U是與區間[a,b]上的某分佈f(x)有關的

一個整體量;

2)U對區間[a,b]具有可加性,部分量具有線性性.

即可通過

“分割,近似求和,取極限”

n

表示為

Ulimf(i)xi



0i1

n

定積分定義b

f(x)dxlimf(i)xi

a

0i1

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微元法解決問題的步驟:

第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量

的

近似值微分運算式

dUf(x)dx

第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的

精確值積分運算式

b

Uf(x)dx

a

這種分析方法稱為元素法(或微元分析法)

元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環,扇,片,殼等

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二、平面圖形的面積

yf(x)

1.直角坐標情形y

設曲線yf(x)(0)與直線

xa,xb(ab)及x軸所圍曲

邊梯形面積為則oaxbx

A,xdx

dAf(x)dx

yyf(x)yf(x)

b12

Af(x)dx

a

右下圖所示圖形面積為

b

Af(x)f(x)dxoaxxdxx

a12b

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例1.計算兩條拋物線y2x,yx2在第一象限所圍

所圍圖形的面積.

y2x

解:由y

yx2

得交點2

(0,0),(1,1)yx(1,1)

12

AdAxx2dxyx

0

31

2213ox1x

xxxdx

330

1



3

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例2.計算拋物線y22x與直線yx4所圍圖形

的面積.

2

y2x得交點

解:由