8.1.2 三角形的内角和与外角和 --课件 华东师大版（2024）数学七年级下册.pptx

8.1.2三角形的内角和与外角和

1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;3.掌握三角形的外角的性质及外角和.学习目标

将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.可以将∠A，∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.ABC三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考

如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.知识点1三角形的内角和观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.CEAB123D解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行）∵CD//BA,∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.

由此得到：你还能想出其它的方法推出这个结论吗？三角形的内角和等于180°.

多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE

例1在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.∴3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.

例2如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解:由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.

问题1如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？ABC知识点2直角三角形的两锐角互余由三角形的内角和等于180°，得∠A+∠B+∠C=180°.由此可以推出∠A+∠B=180°∠C=90°，即∠A与∠B互余.

应用格式：在直角三角形ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.?归纳直角三角形的两个锐角互余．

例3如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数.（165°(ABDC解在Rt△ABD中∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性质）.又∵∠1=45°（已知），∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）,∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.

我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.

问题1如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.知识点3三角形的外角的性质

∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.由此可知，三角形的外角有两条性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

例4如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.解：∵∠B+∠C=∠CAD，∴∠C=∠CAD-∠B，∴∠C=100°-30°=70°.

ABC((((((213（4与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.如图所示，∠1+∠2+∠3