山西省太原市2023−2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷（含解析）.docx

山西省太原市2023?2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（????）

A． B． C． D．

2．已知，且∥，则实数（????）

A． B．1 C． D．4

3．下列结论不正确的是（????）

A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体

4．在中，，则（????）

A． B．2 C． D．

5．已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（????）

A． B． C． D．

6．在中，点在线段上，且，则（????）

A． B． C． D．

7．已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（????）

A． B． C． D．

8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题）

9．已知非零复数，其共轭复数为，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数

10．已知单位向量，下列结论正确的是（????）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

11．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的是（????）

A．若是直角三角形，则

B．若是锐角三角形，则的取值范围是

C．若，则有一解

D．若有两解，则的取值范围是

12．如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（????）

A．直三棱柱的体积是6 B．三棱锥的体积为定值

C．的最小值为 D．直三棱柱的外接球表面积是

三、填空题（本大题共4小题）

13．复数，则．

14．已知三棱台的高为3,△ABC和分别是边长为2和4的等边三角形，则该棱台的体积为．

15．已知向量，是单位向量，且，则向量在上的投影向量的坐标为．

16．已知满足，则的最大值为．

四、解答题（本大题共5小题）

17．已知复数满足．

(1)求的共轭复数；

(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值．

18．已知四边形中，．

(1)若，求的值；

(2)若，求的值．

19．已知单位向量的夹角是．

(1)证明：点A，B，C共线；

(2)求与夹角的余弦值．

20．如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．

(1)求此山的高OP的值；

(2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．

21．如图，在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，且．

(1)求的大小；

(2)设的平分线AD交BC于点，若，求周长的最小值．

参考答案

1．【答案】B

【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.

故选：B.

2．【答案】C

【详解】因为，且∥，

所以，得，

故选：C

3．【答案】D

【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确；

对于B，长方体是平行六面体，故B正确；

对于C，正方体是直四棱柱，故C正确；

对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形，

四棱柱不一定是平行六面体，故D错误．

故选：D．

4．【答案】A

【详解】由正弦定理可得：.

因为，

所以.

故选：A.

5．【答案】B

【详解】正方形ABCD的边长为2，

则原图面积S原

由原图与直观图的面积关系得S直

故选：.

6．【答案】D

【详解】因为，所以，

.

??

故选：D.

7．【答案】C

【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，

如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，

设内切球半径为，内切球球心为I，连接IP,IQ,IS.

三角形PQS是边长为的等边三角形，

由等面积法有，12×23+2

故所求为V=4

故选：C.

8．【答案】A

【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

????

则有，，,为弧上的点且，则，

，

.

故选：A.

9．【答案】BC

【详解】对于A，取，则，故A错误；

对于B，设，则，故B正确；

对于C，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是纯虚数，故C正确；

对于D，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是实数，故D错误.

故选：BC.

10．【答案】ACD

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，当时，不一定共线，所以不一定相等，故B错误；

对于C，若，则，即，故C正确；

对于D，，解得，故D正确.

故选：ACD.

11．【答案】BC

【详解】对于A，当为直角时，，当为直角时，，

所以A错