陕西省咸阳市高新一中2024−2025学年高一下学期第五次质量检测（3月） 数学试卷（含解析）.docx

陕西省咸阳市高新一中2024?2025学年高一下学期第五次质量检测（3月）数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知向量，若，则（????）

A． B．20 C． D．

2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（????）

A． B．

C． D．

3．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（????）

A．和 B．和

C．和 D．和

4．已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（????）

A． B． C． D．

5．正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

6．在中，已知，，则（????）

A． B． C．或 D．或

7．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（????）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

8．一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（????）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知向量，则（????）

A． B．向量的夹角为

C． D．在上的投影向量是

10．的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（????）

A．若，则

B．若，则是钝角三角形

C．若，则为等腰三角形

D．若，则符合条件的有两个

11．已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（????）

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知向量，，若，则

13．已知向量满足，则．

14．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的.（填：内心，外心，垂心，重心）

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知向量与的夹角为60°，＝1，．

(1)求及；

(2)求.

16．在中，已知，，，解此三角形．

17．在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

18．在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.

(1)求角的大小；

(2)求面积的最大值.

19．如图，在中，为边上一点，且．

(1)设，求实数、的值；

(2)若，求的值；

(3)设点满足，求证：．

参考答案

1．【答案】A

【详解】，

.

故选A．

2．【答案】B

【详解】由于是边上的中点，则.

.

故选B.

3．【答案】B

【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.

【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，

和不共线，故A能构成基底，

和共线，故B不能构成基底，

和不共线，故C能构成基底，

根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，

故选B.

4．【答案】D

【详解】因为，，所以，

因为与垂直，

所以，解得，

故选D．

5．【答案】B

【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知，

则，

所以；

方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，可得，

所以；

方法三：由题意可得，

在中，由余弦定理可得，

所以.

故选B.

6．【答案】C

【详解】设，则，

由正弦定理得，，解得，

因为，所以，则或，

故选C．

7．【答案】D

【详解】由题意，向量，且，

则，故，

整理得到，

故，故或，

即或，故的形状为等腰或直角三角形.

故选D.

8．【答案】A

【详解】依题意，如图，在中，

，则，

由正弦定理得，即，因此（海里），

所以两点间的距离是海里．

故选A．

9．【答案】BD

【详解】对于A，因为，

所以，

所以，故A错误；

对于B，由A可得，

又，故，即向量的夹角为.故B正确；

对于C，，所以，故C错误；

对于D，在上的投影向量是，故D正确.

故选BD.

10．【答案】ABD

【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得，

整理得，故A正确；

对于B，因为，由正弦定理得，

所以，因为，所以，即为钝角，

所以是钝角三角形，故B正确；

对于C，由，

由正弦定理可得，

即，所以或，

所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误；

对于D，由正弦定理得，即，

因为，所以，为锐角，

所以存在满足条件的有两个，D正确.

故选ABD．

11．【答案】AD

【详解】解：因为，，与的夹角为，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，且不能共线，

所以，解得，

当向量与向量共线时，有，即，解得，

所以实数的取值范围，

所以实数可能的取值为A，D

故选AD