新教材2020-2021学年人教A版数学选择性必修第一册练习：1.4.2 第2课时 夹角问题 Wor.doc

第一章1.41.4.2第2课时

请同学们认真完成练案[9]

A组·素养自测

一、选择题

1．(多选题)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列选项中，正确的是(AB)

A．n1∥n2?α∥β B．n1⊥n2?α⊥β

C．v∥n1?l∥α D．v⊥n1?l∥α

[解析]对于A，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，A正确；对于B，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，B正确；对于C，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误；对于D，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，D错误．故选AB．

2．若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于(D)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°．

3．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(A)

A．eq\f(5\r(22),66) B．－eq\f(5\r(22),66)

C．eq\f(5\r(22),22) D．－eq\f(5\r(22),22)

[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，

而cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3×\r(22))＝eq\f(5\r(22),66)，

故直线AB和CD所成角的余弦值为eq\f(5\r(22),66)．

4．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(B)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]如图所示，建立空间直角坐标系．设PA＝AB＝1，

则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)．

取PD的中点E，

则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，

∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，

易知eq\o(AD,\s\up6(→))是平面PAB的一个法向量，eq\o(AE,\s\up6(→))是平面PCD的一个法向量，所以cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(2),2)，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°．

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为(A

A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)

C．－eq\f(1,6) D．－eq\f(1,4)

[解析]如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(0,1,2)，O(1,2,1)，D1(0,0,2)，

∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(OD1,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)．则cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(OD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MN,\s\up6(→))·\o(OD1,\s\up6(→)),|\o(MN,\s\up6(→))||\o(OD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(6)×\r(6))＝eq\f(1,6)．∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为eq\f(1,6)，故选A．

二、填空题

6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为__eq\f(\r(6),4)__

[解析]解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM．过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C．连接AN，则∠DAN就是AD与平面

在Rt△DAN中，

sin