广东省广州市第十六中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）.docx

广东省广州市第十六中学2024?2025学年高一下学期3月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（?????）

??

A． B．

C． D．

2．在中，，，，则为（????）

A． B． C．或 D．

3．G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角（????）

A．90° B．60°

C．45° D．30°

4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（???）

A．3 B．

C． D．3

5．已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（???）

A． B． C． D．2

6．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（???）

A．－1 B． C． D．

7．在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（???）

A． B． C． D．5

8．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．在中，下列结论中，正确的是（????）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则

C．若，则为锐角三角形

D．若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是

10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心?重心?垂心，且为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（????）

A．面积的最大值为 B．

C．周长的最大值为6 D．的取值范围为

三、填空题（本大题共3小题）

12．设是单位向量，且，则的最小值为．

13．在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为．

14．作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知，，的夹角为，则与夹角的大小为.

四、解答题（本大题共3小题）

15．已知，，与的夹角为.

(1)若与共线，求实数的值；

(2)求的值；

(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

16．已知分别为的角所对的边，且满足，．

(1)求；

(2)若外接圆的半径为，求.

17．如图，在中，为边上一点，且.

??

(1)求的长及的值；

(2)若，求的周长；

(3)若，求中边上的高.

参考答案

1．【答案】A

【详解】依题意在平行四边形中，，

又是的中点，则，

又与交于点，

所以，则，

所以，

又，

所以

故选A.

2．【答案】B

【详解】在中，因，，，则由正弦定理得：，

因，则，于是得，

所以为.

故选B.

3．【答案】D

【详解】因为G是的重心，所以有.

又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1，

设c＝，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝，所以A＝30°，

故选D.

4．【答案】C

【详解】因，，且，

所以，化为.

所以，解得.

所以.

故选C.

5．【答案】C

【详解】在中，令，过作于，，

由向量在向量上的投影向量为，得，

解得，则，由，得

，解得，由，

得，即，因此，

在中，.

故选C.

??

6．【答案】C

【详解】∵分别表示与方向的单位向量，

∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，

∵，∴的平分线与垂直，故.

取的中点，连接，则，

由题意得，，

∴.

??

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，故.

设，则，∴，

∴，，

∴，

当时，取得最小值，最小值为.

故选C.

7．【答案】D

【详解】由，，

所以，所以，

又，

所以，所以，所以，

故，为最长的边，

由，得，

则，

所以（舍去），

由正弦定理得，所以.

即最长边的长为.

故选D.

8．【答案】B

【详解】在中，，

又，则，设，则，

在中，由正弦定理得，解得，

在中，由余弦定理得，

即，又，解得，则，

所以，

故选B.

9．【答案】AB

【详解】对于A，因为，且，且，

所以，所以是等腰三角形，所以选项A正确；

对于B，由，则，可得，所以选项B正确；

对于C，由，以及余弦定理可得，

又，所以，但不知角的值，

不一定为锐角三角形，所以C错误；

对于D，由，若三角形有两解，则，

所以长的取值范围是，所以D错误.

故选AB.

10．【答案】ABC

【详解】

对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知:

所以，根据平行线分线段成比例可知：，

又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确；

对于B，由于是重心，所以，

而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确；

对于C，因为是外心，所以，故C正确；

对于D，由向量的加法可知：，故D错误；

故