天津市静海区第一中学2024−2025学年高一下学期3月学生学业能力调研 数学试卷（含解析）.docx

天津市静海区第一中学2024?2025学年高一下学期3月学生学业能力调研数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，均为单位向量，，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

3．在中，若，，，则等于（????）

A．105° B．60°或120° C．15° D．105°或15°

4．设，是非零向量，“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（???）

A． B． C． D．

6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（????）

A．2 B．8 C．9 D．18

7．在平行四边形中，与交于点，，的延长线与交于点.若，，则（????）

A． B． C． D．

8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（???）

①若，则定为等腰三角形

②若，则一定是锐角三角形

③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的

④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形

⑤若，则点O是的内心

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共5小题）

9．已知向量，则在方向上的投影向量为.

10．在中，若，，，则.

11．已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是.

12．如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为．

13．在平面四边形中，，则；.

三、解答题（本大题共5小题）

14．已知平面向量，，其中，．

(1)求与的夹角；

(2)若与共线，求实数的值．

15．在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

16．在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，.

（1）求边的长；

（2）若为直线上的一点，且，求.

17．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且，则

(1)求；

(2)若点M为线段BD（含端点）上的动点，求的最小值；

(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．

18．在中，角所对的边分别为，已知．

(1)求角的大小．

(2)若，的面积为，求的周长．

(3)若为锐角三角形，求的取值范围．

参考答案

1．【答案】D

【详解】由题意可得，则，所以，.

故选D.

2．【答案】A

【详解】因为，均为单位向量，所以，

所以，

即，所以，

所以，

因为，

所以，

故选A.

3．【答案】D

【详解】由题知：，所以，

又因为，，所以或.

所以或.

故选D.

4．【答案】A

【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.

考点：充分必要条件、向量共线.

5．【答案】A

【详解】因为为的内角，则，

由二倍角的余弦公式可得，解得，

由正弦定理可得，所以，.

故选A.

6．【答案】C

【详解】由题意，，又共线，则，

且，所以，

当且仅当时取等号，即的最小值为9.

故选C.

7．【答案】B

【详解】解：如图所示：

由得，

由得∽，∴，

又∵，∴，

，故选B.

8．【答案】B

【详解】对于①，在中，由，得或，

即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误；

对于②，由及余弦定理，得，则为锐角，

而是否为锐角不确定，②错误；

对于③，由，得，即，

则，的面积是面积的，③错误；

对于④，由，得是的重心，由，

得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确；

对于⑤，由，得，则，

平分，由，同理得平分，因此点O是的内心，⑤正确，

所以正确命题的个数是2.

故选B.

9．【答案】/

【详解】

在方向上的投影向量为.

10．【答案】5

【解析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.

【详解】解：因为在中,,,,

由余弦定理：,

,

所以.

11．【答案】

【详解】∵为锐角，

∴，且，不共线，

∴，解且，

∴x的取值范围为．

12．【答案】

【详解】在中，根据余弦定理得：，，由于，在中，根据正弦定理得：.

13．【答案】

【详解】∵，

又，故，

∵，故，

∴为等边三角形，则；

∵，∴，又，∴，

得，

∴，

根据以上分析作图如下：

则∠BCD=150°，

则

．

14．【答案】(1);

(2).

【详解】（1）因为，，

所以，，

，，

，

，.

（2），，

与共线，，

解得.

即实数的值为.

15．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，