定积分的几何应用课件.pptVIP

定積分的幾何應用

一、平面圖形的面積

1直角坐標系

作為一般情況討論，設平面圖形由[a,b]

上連續的兩條曲線y=f(x)與y=g(x)

(f(x)g(x))及兩條直線x=a,x=b所圍成

在[a,b]上任取典型社區間[x,x+dx]

與它相對應的小曲邊梯形的面積為局部量dA

當很小時

dxyf(x)

dA可用高為f(x)g(x)

底為dx的矩形面積

近似表示即

yg(x)

dA[f(x)g(x)]dx

xx

bd

故A[f(x)g(x)]dxx

a

ab

22

例1求兩曲線yyx

x21

所圍成的圖形的面積

解為確定圖形的存在區間

由聯立方程組解得交點A（-1，1）B（1，1）

2

x[1,1]2

2x

1x1

2

故A(x2)dx

2

1x1

12

(2arctanxx3)1

313

例2計算y22xyx4所圍圖形的面積

解首先定出圖形所在的範圍

y22x解得交點為（2，-2）和（8，4）

yx4

若取x為積分變數在[x,x+dx]上取部分量

則對於x的不同值局部量的位置不同其

上、下曲邊有多種情況運用上述公式計算

較為複雜

如下圖

但若將這一面積看作是分佈在區間[-2，4]上

以y為變數計算將會簡單

在[-2,4]上任取一社區間[y,ydy]

其上相應的窄條左、右曲邊分別為

1

xy2,xy4

2

41

A(y4y2)dy18

22

由此可見在面積計算中應根據平面區域的具體

特徵恰當地選擇積分變數找出相應的面積微元可使

計算簡化

上述問題的一般情況是x(y)

d

平面區域由上連續的曲線

[c,d]ydy

x(y),x(y)y

()

xy



((y)(y))c

及直線y=c,y=d所圍成

d

則其面積為A[(y)(y)]dy

c

當直角坐標系下的平面區域的邊界曲線

由參數方程的形式給出時，只須對面積計算

公式作變數代換即可。

x(t)

(t)

y(t)

b

Aydx|(t)(t)dt|

a

計算時應注意積分限在換元中應保持與原積

分限相對應。

xacos

例3求橢圓(02