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共美联盟2024-2025学年高三冲刺模拟数学试题试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（）

A． B． C． D．

2．已知函数，则（）

A． B． C． D．

3．已知函数满足=1，则等于（）

A．- B． C．- D．

4．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（）

A．4 B． C．2 D．

5．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()

A． B．

C． D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

7．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()

A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数

C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b

8．复数为纯虚数，则()

A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i

9．复数满足，则（）

A． B． C． D．

10．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（）

A．2 B． C． D．5

11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．下列说法正确的是（）

A．“若，则”的否命题是“若，则”

B．“若，则”的逆命题为真命题

C．，使成立

D．“若，则”是真命题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.

14．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．

15．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．

16．在二项式的展开式中，的系数为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.

18．（12分）设函数其中

(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;

(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.

19．（12分）已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.

（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

21．（12分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.

（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；

（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.

22．（10分）已知函数.

（1）若在上是减函数，求实数的最大值；

（2）若，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，

故选：C

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

2．A

【解析】

根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.

【详解】

依题意，.

故选：A

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

3．C

【解析】

设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.

【详解】

解：设的最小正周期为，因为，

所以，所以，

所以，

又，所以当时，，

，因为

，

整理得，因为，

，

，则

所以

.