通信原理项目式教程-任务1.5 对信号进行时频域变换.pptxVIP

任务1.5对信号进行时频域变换;

通常把F(ω)叫做信号f(t)的频谱密度，简称频谱。信号及其频谱具有一一对应的关系，故一个信号既可以用时间函数f(t)表示，也可以用它的频谱F(ω)表示。傅立叶变换反映了信号的时间域和频率域之间的这种对应关系。通常把由f(t)求F(ω)的过程称为傅氏正变换；相反地，把由F(ω)求f(t)的过程称为傅氏反变换或逆变换。f(t)和F(ω)是一对傅氏变换对，记作;

由式(1-14)可知，若积分是一个有限值，则傅立叶变换存在。因此，傅立叶变换的充分条件为

但这并不是必要条件。因为有些信号虽然不满足该条件，但其傅立叶变换也存在，例如冲激函数δ(t)。;

傅氏变换对于实信号和复信号同样有效，而且一般F(ω)都为复函数。习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为f(t)的幅度频谱图，简称频谱图。在区间(-∞，+∞)上，信号的频谱图都是正负频率对称的，称为双边谱。其中负频率是正频率的镜像，没有物理意义，因此，有时也把频谱全部画在正频谱轴上，称为单边谱，此时的振幅比双边谱的振幅要增加一倍。同一信号的双边谱和单边谱如图1-15所示。;

;

思考应答

画出图1-16中双边谱信号对应的单边频谱图。;

子任务1.5.2利用傅立叶变换的性质对信号进行时频域变换及分析

傅立叶变换具有唯一性，其性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间确定的内在联系。傅立叶变换的基本性质有如下9条(其中带为最常用的性质)。

1.线性特性*

函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合，用公式表示为;

2.对称性

若F(t)的形状与F(ω)相同，则F(t)的傅立叶变换形状与f(t)的水平镜像的形状相同，幅度差2π，用公式表示为;

3.尺度变换特性

;

4.时移特性

若时间函数f(t)沿t轴向右平移t0，则其傅立叶变换等于f(t)的傅立叶变换乘以因子e-jωt0，用公式表示为

5.频移特性

若时间函数f(t)乘上因子ejωct，则其傅立叶变换等于f(t)的傅立叶变换沿ω轴向右平移ωc，用公式表示为;

6.微分特性

1)时间微分

时间函数f(t)导数的傅立叶变换等于这个函数的傅立叶变换乘以因子jω，用公式表示为;

2)频率微分

若对时间函数f(t)的傅立叶变换求导，则其傅立叶逆变换等于这个函数乘以因子-jt，用公式表示为;

7.积分特性

1)时间积分

时间函数f(t)积分后的傅立叶变换等于这个函数的傅立叶变换除以因子jω，用公式表示为

2)频率积分

若对时间函数f(t)的傅立叶变换求积分，则其傅立叶逆变换等于这个函数除以因子-jt，用公式表示为;

8.卷积特性*

1)时域卷积

若两个时间函数在时域进行卷积，则其傅立叶变换为原傅立叶变换在频域相乘，用公式表示为

2)频域卷积

若两个时间函数在时域相乘，则其傅立叶变换为原傅立叶变换在频域相卷积，且幅度要除以2π，用公式表示为;

9.调制特性*

若时间函数f(t)在时域与角频率为ω0的余弦相乘，则其频谱为原频谱分别平移到ω0和-ω0处的频谱之和，且幅度减半，用公式表示为

此公式为通信系统中信号进行调制前后信号频谱特性分析的基础。;

案例分析

;;

(4)结合第(1)步和第(3)步可得;;;

(3)信号F2(ω)和F3(ω)如图1-18所示。;

4.已知f(t)的频谱图如图1-19所示，试画出f(t)×cosωct的频谱图(已知ωc?ωH)，并体会调制的作用。;

解根据傅立叶变换的调制特性，f(t)×cosωct的频谱函数为因此其对应的频谱图如图1-20所示。

调制前，f(t)的频谱图以ω=0处为中心左右对称(镜像)；调制后，f(t)的频谱被搬移到高频处，分别以ω=±ωc为中心左右对称且幅度减半。;

子任务1.5.3利用常用傅立叶变换对实现信号的时频域变换及分析

常用傅立叶变换对如表1-4所示(其中，带*为最常用的傅立叶变换对)。;;;

;;

案例分析;

;

2.已知时域信号f(t)=A+Acosωct，求其频谱函数F(ω)。

解根据傅立叶变换的线性特性，F(ω)等于A的频谱函数和Acosωct的频谱函数之和，根据表1-4，直流A的频谱函数为2πAδ(ω)，余弦函数Acosωct的频谱函数为Aπ[δ(ω+ωc)+δ(ω-ωc)]，因此;

3.根据正余弦函数相差90°的特性和频域的j轴，试画出正弦函数Asin(ωct)的频谱图并将正余弦信号频谱进行对比和简要分析。

解正余弦信号